Умножение степеней
Умножение степеней
Автоматическое вычисление и применение правил степеней
чтобы получить пошаговое решение
Умножение степеней — ключевое правило школьной алгебры, необходимое для упрощения алгебраических выражений, работы с многочленами, решения показательных уравнений и расчетов в физике. В зависимости от совпадения оснований или показателей чисел применяются разные математические законы. Наш онлайн-калькулятор мгновенно перемножает степени с одинаковыми и разными основаниями, отрицательными, дробными и нулевыми показателями, сопровождая вычисления наглядными шагами.
При умножении степеней с одинаковым основанием основание остается прежним, а показатели степеней складываются: am × an = am + n. Самая частая ошибка новичков — перемножать основания чисел: например, считать, что 2³ × 2⁴ = 4⁷. Это грубая ошибка! Правильный расчет: 2³ × 2⁴ = 23 + 4 = 2⁷ = 128.
Основные свойства и правила умножения степеней
- 1. Одинаковые основания (am · an = am + n)Основание переписывается без изменений, а показатели алгебраически суммируются. Правило работает для любого числа сомножителей: x² · x³ · x⁴ = x2 + 3 + 4 = x⁹.
- 2. Одинаковые показатели (an · bn = (a · b)n)Основания перемножаются между собой, а общий показатель выносится за скобки: 2³ · 5³ = (2 · 5)³ = 10³ = 1 000.
- 3. Возведение степени в степень ((am)n = am · n)При возведении степени в следующую степень показатели перемножаются: (3²)³ = 32 · 3 = 3⁶ = 729.
- 4. Отрицательные показатели (a-n = 1 / an)Отрицательный показатель переворачивает основание в обратную дробь: a⁵ · a-3 = a5 + (-3) = a²; 2-3 = 1 / 2³ = 1/8.
- 5. Дробные (рациональные) показателиДробный показатель представляет собой корень степени n: am/n = ⁿ√am. При умножении таких степеней дроби в показателе складываются по правилам сложения дробей.
an × bn = (a × b)n
(am)n = am × n
am × a-n = am - n = aman
- a, b — основания степеней (действительные числа);
- m, n — показатели степеней (целые или дробные числа);
- a ≠ 0 при нулевом или отрицательном показателе степени.
1) Представим основания через степени тройки: 27 = 3³, 9 = 3².
2) Подставим в выражение: (3³)² × (3²)³.
3) Раскрываем скобки перемножением показателей: 33 × 2 × 32 × 3 = 3⁶ × 3⁶.
4) Складываем показатели: 36 + 6 = 3¹² = 531 441.
Справочная таблица степеней популярных чисел
| Показатель n | 2n | 3n | 5n | 10n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
| 2 | 4 | 9 | 25 | 100 |
| 3 | 8 | 27 | 125 | 1 000 |
| 4 | 16 | 81 | 625 | 10 000 |
| 5 | 32 | 243 | 3 125 | 100 000 |
| 6 | 64 | 729 | 15 625 | 1 000 000 |
Для обратной операции переходите в деление степеней. Для комплексных научных вычислений с логарифмами используйте инженерный калькулятор онлайн.
Часто задаваемые вопросы (FAQ)
Чему равно число в нулевой степени (a⁰)?
Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: a⁰ = 1 (например, 5⁰ = 1, 100⁰ = 1, (-4)⁰ = 1). Это следует из деления степени на саму себя: aⁿ / aⁿ = an - n = a⁰ = 1. Выражение 0⁰ считается неопределенностью в высшей математике.
Что делать, если и основания, и показатели разные?
В общем случае (например, 2³ × 5⁴) степени вычисляются по отдельности и затем перемножаются: 8 × 625 = 5 000. Если основания составные, их сначала пробуют разложить на простые множители (например, 6³ = (2 · 3)³ = 2³ · 3³).
Как возводить отрицательное число в степень?
При четном показателе минус исчезает: (-2)⁴ = +16. При нечетном показателе минус сохраняется: (-2)³ = -8. Будьте внимательны со скобками: выражение -2⁴ означает -(2⁴) = -16, тогда как (-2)⁴ = +16.